Collatz problem
Om man tar ett positivt heltal n, och applicerar dessa två regler:
om n är jämnt, dela med 2
om n är udda, multiplicera med 3 och addera 1
eller:
Ingen har hittills lyckats bevisa att man alltid kommer till 1, så självklart måste jag ju försöka :P
Det finns ju inget positivt heltal som det integår att applicera någon av reglerna på så det enda som skulle göra att man inte kom till 1 är om man kun skapa en cykel, så att man kommer till ett tal man redan varit på och det går runt, runt, runt. Många bättre matematiker än jag själv har försökt visa att detta inte går, men inte lyckats så jag tänkte ta en annan approach! Jag har tänkt lite och kommit fram till följande, vilket inte är ens nära ett bevis, men ändå lite intressant.
Om man går baklänges, börjar vid 1 och applicerar regeln baklänges så bygger man upp ett träd, jag struntar i de grenar som ger samma tal som redan förekommit (4 - 1 = 3, 3/3 = 1, skapar en ny 1 - 2 - 4...)
1 - 2 - 4 - 8 - 16 - 32 - 64 - 128 - 256 - 512 - 1024 ...
------------------- \ 5 - 10 - 20 - 40 - 80 - 160 ...
------------------------------- \ 3 - 6 - 12 - 24 ...
--------------------------------------------------------------------
osv...
Det jag kom på var följande:
Om det stämmer att alla tal leder till 1 så måste ju detta träd få fram alla tal "till slut"
Men varje gång man tar ett steg fram i den översta tråden så får man bara ett nytt tal samt en stor lucka med tal som måste fyllas i av de undre trådarna, t.ex. från 32 till 64 är det ju 32 tal som saknas. Dessa nya luckor måste fyllas med tal från de undre trådarna. So far so good.
Men den översta tråden dubblar ju mängden tal som behöver fyllas i för varje seg man tar, så för att det till slut ska fullas i snabbare än det blir nya hål så måste antalet trådar dubblas för varje steg, minst! För att det ska dubblas måste samtliga tal i en kolumn vara applicerbara på båda reglerna, de måste alltså skapa två nya tal. Detta måste upprätthållas hela tiden och inte bara en gång. Det innebär att alla tal måste vara udda, men vartannat tal som kommer borde ju vara jämnt. Detta kommer alltså inte att ske! Luckorna som måste fyllas i ökar snabbare än talen som fyller dem!
En intressant iaktagelse som tyder på att det borde finnas tal som inte går till 1, skulle man kunna tro, men det är inte nödvändigtvis så. Detta är inte ett bevis för någonting, bara en rolig iaktagelse som ger ett annat perspektiv på problemet.
om n är jämnt, dela med 2
om n är udda, multiplicera med 3 och addera 1
eller:
Ingen har hittills lyckats bevisa att man alltid kommer till 1, så självklart måste jag ju försöka :P
Det finns ju inget positivt heltal som det integår att applicera någon av reglerna på så det enda som skulle göra att man inte kom till 1 är om man kun skapa en cykel, så att man kommer till ett tal man redan varit på och det går runt, runt, runt. Många bättre matematiker än jag själv har försökt visa att detta inte går, men inte lyckats så jag tänkte ta en annan approach! Jag har tänkt lite och kommit fram till följande, vilket inte är ens nära ett bevis, men ändå lite intressant.
Om man går baklänges, börjar vid 1 och applicerar regeln baklänges så bygger man upp ett träd, jag struntar i de grenar som ger samma tal som redan förekommit (4 - 1 = 3, 3/3 = 1, skapar en ny 1 - 2 - 4...)
1 - 2 - 4 - 8 - 16 - 32 - 64 - 128 - 256 - 512 - 1024 ...
------------------- \ 5 - 10 - 20 - 40 - 80 - 160 ...
------------------------------- \ 3 - 6 - 12 - 24 ...
--------------------------------------------------------------------
osv...
Det jag kom på var följande:
Om det stämmer att alla tal leder till 1 så måste ju detta träd få fram alla tal "till slut"
Men varje gång man tar ett steg fram i den översta tråden så får man bara ett nytt tal samt en stor lucka med tal som måste fyllas i av de undre trådarna, t.ex. från 32 till 64 är det ju 32 tal som saknas. Dessa nya luckor måste fyllas med tal från de undre trådarna. So far so good.
Men den översta tråden dubblar ju mängden tal som behöver fyllas i för varje seg man tar, så för att det till slut ska fullas i snabbare än det blir nya hål så måste antalet trådar dubblas för varje steg, minst! För att det ska dubblas måste samtliga tal i en kolumn vara applicerbara på båda reglerna, de måste alltså skapa två nya tal. Detta måste upprätthållas hela tiden och inte bara en gång. Det innebär att alla tal måste vara udda, men vartannat tal som kommer borde ju vara jämnt. Detta kommer alltså inte att ske! Luckorna som måste fyllas i ökar snabbare än talen som fyller dem!
En intressant iaktagelse som tyder på att det borde finnas tal som inte går till 1, skulle man kunna tro, men det är inte nödvändigtvis så. Detta är inte ett bevis för någonting, bara en rolig iaktagelse som ger ett annat perspektiv på problemet.
Kommentarer
Trackback
